1. Distribusi uniform
Distribusi uniform diskrit disebut juga seragam diskrit adalah probabilitas distribusi diskrit yang paling sederhana. Bila Variabel acak X mengambil nilai-nilai X1, X2,……..Xk dengan probabilitas yang sama maka probabilitas distribusi diskrit diberikan f(x,k)= = X1, X2, X3,……..Xk . Pada distribusi probabilitas seragam, probabilitas adalah sama untuk k sel sehingga p = 1 / k. Pada distribusi seragam, tidak ada parameter penentu sehingga m = 0 dan
n = k - m - 1 = k -1
Sedangkan distribusi eksponensial diperoleh dari distribusi gamma dengan α=1 dan β= θ. Distribusi eksponensial memainkan peranan penting dalam teori antrian dan teori keandalan ( reliabilitas).
Pengertian Distribusi Uniform Diskrit ( Seragam Distribusi)
Distribusi Uniform Diskrit ( Seragam Diskrit) adalah probabilitas distribusi sederhana yang semua peubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama.
Bila peubak acak X mendapat harga X1, X2,,,,,,Xn dengan peluang yang sama maka distribusi uniform diberikan oleh :
P( X= x)= dengan x= X1, X2,………….., Xk
Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x.
Mean (X), =
Varians(X), σ² = 2
Bukti: Mean (X), = E(X)=
=
=
Varians(X), σ²= E(X-μ)2 = f(x;k)
=
= 2
Contoh:
1. Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Penyelesaian:
Menurut Definisi:
Mean (X), =
Varians(X), σ² = 2
Cari mean dan variansi dari contoh diatas:
Jawab: = = 3,5
σ²=
= + + + : 6
=
= =
3.MODUL DISTRIBUSI BINOMIAL
DEFINISI
Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole)
CIRI – CIRI DISTRIBUSI BINOMIAL
Percobaan diulang sebanyak n kali.
Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :
“BERHASIL” atau “GAGAL”;
“YA” atau “TIDAK”;
“SUCCESS” or “FAILED”.
Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.
Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.
Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)
Nilai n < 20 dan p > 0.05
RUMUS DISTRIBUSI BINOMIAL
b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n
n : banyaknya ulangan
x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan
Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.
Contoh Distribusi Binomial :
1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :
a.Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.
b.Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas
c.Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas
Jawab :
a.X ≤ 2
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =
0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau
b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768
b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960
b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480
+
Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208
b.X ≥ 1
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =
0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau
b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0)
1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)5
1 – 0.4437 = 0.5563
c.X = 2
b(2; 5, 0.25) = 0.2637
d.X ≤ 2 X ≤ 4
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528
Analisis masing – masing point :
a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.
b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).
c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.
Analisis keseluruhan :
A. Persentase
Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.
B. Nilai X
Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas . Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.
2.Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?
Jawab : p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975
Analisis : Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata – rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.
RATA – RATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIAL
Rata – rata μ = n . p
Ragam σ2 = n . p . q
n : ukuran populasi
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan
Contoh Rata – rata dan Ragam Distribusi Binomial :
Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20
q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80
maka : = 5 x 0.20 = 1
2 = 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80
0.80= = 0.8944
4. Pengertian Distribusi Poisson
Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variable random (variable acak) diskrit.
Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis.
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.
3. CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON
Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah
Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit
Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan
4. PENGGUNAAN DISTRIBUSI POISSON
Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal:
a). menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari:
Kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank
Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.
banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.
jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik
Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.
distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang.
Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.
b). Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1).
Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :
a. jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.
b. menghitung di daerah terpisah adalah bebas.
c. kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.
5. RUMUS DISTRIBUSI POISSON
Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.
Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa
Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:
P(X) = µ_X . e_µ / x!
Keterangan: P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson
µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p
e = Bilangan konstan = 2,71828
X = Jumlah nilai sukses
P = Probabilitas sukses suatu kejadian
! = lambang faktorial
Soal 1
Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Probabilitas perusahaan memberikan deviden pada tahun 2002 hanya 0,1. apabila BEJ meminta laporan dari emiten sebanyak 5 perusahaan, berapa probabilitas 5 perusahaan tersebut adalah perusahaan yang membagikan deviden?
Jawab:
n = 150, X = 5, dan p = 0,1 (ini merupakan cirri distribusi Poisson, n > 50 dan p kecil yaitu )
µ = n . p = 150 x 0,1 = 15
Jadi probabilitas 5 perusahaan sample membagikan deviden hanya 0,002 atau 0,2%
Soal 2
Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100000 pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalas iklan tersebut 0,00002 ditanyakan:
a. Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut.
b. Berapa kemungkinannya bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang.
c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas.
Distribusi Poisson sebagai Pendekatan dari Distribusi Binomial
Uraian ini akan diarahkan pada pembuktian bahwa distribusi Poisson sebagai pendekatan dari distribusi binomial.
Probabilitas Distribusi Poisson Kumulatif
Probabilitas Poisson Kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan rumus:
soal 3
Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah 0,001. dari 2000 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitasnya:
a. Tiga orang akan mati
b. Yang mati tidak lebih dari 1 orang
c. Lebih dari dua orang mati
Menggunakan tabel untuk distribusi Poisson
Untuk membantu memperoleh dengan cepat nilai probabilitas distribusi Poisson, table hasil distribusi Poisson akan sangat membantu. Penggunaan tabel distribusi Poisson menghendaki pengetahuan nilai tengah rata-rata hitung (µ= n.p) dan jumlah sukses X. Pada baris dapat dilihat nilai µ dan pada kolom dapat dilihat nilai X. Pada contoh 1.1 nilai µ = 15, X = 5 dengan melihat tabel dapat diketahui nilai probabilitas distribusi Poisson adalah 0,002.
Tabel Distribusi Poisson
X µ
1 2 2,5 3 4 5 6 7 8 9 10 15
0 0,368 0,135 0,082 0,050 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000
0,000
1 0,368 0,000
2 0,184 0,000
3 0,061 0,000
4 0,015 0,001
5 0,003 0,002
6 0,001 0,005
7 0,000 0,010
8 0,000 0,019
9 0,000 0,032
10 0,000 0,049
Menggunakan MS Excel Untuk Distribusi Poisson
1 Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function
2 Pilih menu statistical pada function category
3 Pilih menu Poisson pada fungsi name, kemudian tekan OK.
4 Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:
5. Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)
KESIMPULAN
1. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.
2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar.
3. Rumus Distribusi Poisson suatu peristiwa
Ket P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson
µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p
e = Bilangan konstan = 2,71828
X = Jumlah nilai sukses
P = Probabilitas sukses suatu kejadian
5. Distribusi Normal
normal, disebut pula distribusi Gauss, adalahdistribusiprobabilitasyang paling banyak digunakan dalam berbagai analisisstatistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memilikirata-ratanol dansimpangan bakusatu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng ( bell curve) karena grafikfungsi kepekatan probabilitasnyamiripdengan bentuk lonceng.Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif padailmu alam maupunilmu sosial. Beragam skor pengujianpsikologidan fenomenafisika seperti jumlahfotondapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikutidistribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagaibidangstatistika, misalnyadistribusi sampling rata - rataakan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal.Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalamstatistika, dan kebanyakanpengujian hipotesismengasumsikan normalitassuatu data.
SEJARAH DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal pertama kali diperkenalkan olehAbraham deMoivredalam artikelnya pada tahun1733sebagai pendekatandistribusi binomial untuk besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut olehPierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagaiteorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untukanalisis galatsuatueksperimen.Metode kuadrat terkecildiperkenalkan olehLegendrepada tahun1805.Sementara ituGaussmengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun1794dengan mengasumsikan galatnya memilikidistribusi normal.Istilah kurva lonceng diperkenalkan olehJouffretpada tahun 1872untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah
distribusi normal
secara terpisah diperkenalkan olehCharles S. Peirce,Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengajamemiliki nama sama.
Distribusi normal didefinisikan dengan persamaan berikut:
Z= x - µ
ket :
Z = standar normal
µ = rata-rata populasiσ
x = rata-rata sample
σ = standar deviasi
Adapun Kurva yang terdapat pada Distribusi Normal :KURVA DISTRIBUSI NORMALGrafik distribusi normal tergantung pada dua factor mean dan deviasistandart. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dandeviasi standard menentukan tinggi dan dan lebar grafik. Ketikastandard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasikecil, kurva kecil dan sempit. Semua distribusi normal tampak sepertilonceng, Kurva berbentuk simetris, seperti yang di tunjukan di gambarini.Kurva di sebelah kiri lebih pendek dan lebih lebar dari kurva di sebelah
Distribusi normal didefinisikan dengan persamaan berikut:Z= x - µ ket : Z = standar normal µ = rata-rata populasiσ x = rata-rata sample σ = standar deviasiAdapun Kurva yang terdapat pada Distribusi Normal :KURVA DISTRIBUSI NORMALGrafik distribusi normal tergantung pada dua factor mean dan deviasistandart. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dandeviasi standard menentukan tinggi dan dan lebar grafik. Ketikastandard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasikecil, kurva kecil dan sempit. Semua distribusi normal tampak sepertilonceng, Kurva berbentuk simetris, seperti yang di tunjukan di gambarini.Kurva di sebelah kiri lebih pendek dan lebih lebar dari kurva di sebelah kanan
KASUS DAN PENYELESAIANNYA
Kasus :Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggibadan 173 cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171,8 dan standar deviasinya adalah 12. Berapakah standar normalnya (Z) ?
Penyelesaian :
Dik : x = 173, µ = 171,8, σ = 12
Dit : Z ?Jawab : Z = x - µ σ = 173 – 171.8 = 0.112
http://tugasfisikakuari.blogspot.com/
http://cyber-learn.blogspot.com/2008/09/modul-distribusi-binomial.html
